题目内容
4．已知数列{an}，a1=1，an=n+1（n≥2），Tn=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$，求证：Tn＜$\frac{5}{3}$．分析 a1=1，an=n+1（n≥2），当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$．利用“裂项求和”即可得出．
解答 证明：∵a1=1，an=n+1（n≥2），
∴当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$．
∴Tn=$\frac{1}{1×4}$+$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{6}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）+（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）]$
=$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$
＜$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）$=$\frac{13}{24}$$＜\frac{5}{3}$．
∴Tn＜$\frac{5}{3}$．
点评 本题考查了“裂项求和”方法、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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