题目内容

已知定点A(1,0)和直线x=-1上的两个动点E、F,且,动点P满足(其中O为坐标原点).

(1)求动点P的轨迹C的方程;

(2)过点B(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C相交于两个不同的点M、N,若<0,求直线l的斜率的取值范围.

解:(1)设P(x,y)、E(-1,yE)、F(-1,yF

=(yE-2)·(yF-2)=yE·yF+4=0

∴yE·yF=-4  ① 

=(x+1,y-yE),=(1-yE)

∴y-yE=0且x(-yF)-y=0

∴yE=y    yF=-代入①得

y2=4x  (x≠0)

则所求曲线C的方程为y2=4x(x≠0).

(2)设l:y-2=kx(由图判定k存在)

联立y2=4x消去x得ky2-4y+8=0

令M(x1,y1)、N(x2,y2)

∴y1+y2=  y1·y2=

=(x1-1,y1)·(x2-1,y2)

=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2

=+1+y1y2

=

-12<k<0

则实数k的范围为(-12,0).

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