Question

2．已知集合A={x|x≤-2或x≥7}，集合$B=\{\left.x\right|8＜{（\frac{1}{2}）^x}＜16\}$，集合C={x|m+1≤x≤2m-1}，
（1）求A∩B，A∪B；
（2）若A∪C=A，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得，B={x|-4＜x＜-3}，即可求A∩B，A∪B；
（2）由A∪C=A，可得C⊆A，分类讨论：①当C=∅时，②当C≠∅时，结合数轴可求．

解答 解：（1）$B=\{\left.x\right|8＜{（\frac{1}{2}）^x}＜16\}=\{\left.x\right|-4＜x＜-3\}$…（2分）
A∩B={x|-4＜x＜-3}，A∪B={x|x≤-2或x≥7}…（6分）
（2）∵A∪C=A，∴C⊆A…（8分）
①当m+1＞2m-1，即m＜2时，C=∅
此时∅⊆A，满足题意；                                   …（10分）
②当C≠∅时，若A∪C=A，则$\left\{\begin{array}{l}{m+1≤2m-1}\\{2m-1≤-2或m+1≥7}\end{array}\right.$
解得m≥6…（13分）
综上所述，m的取值范围是（-∞，2）∪[6，+∞）…（14分）

点评 本题主要考查了指数不等式的求解，集合的交集的求解及集合的包含关系的应用，解（2）时不要漏掉考虑C=∅的情况