Question

在下列四个结论中，正确的有（　　）
（1）x²＞4是x³＜-8的必要非充分条件；
（2）△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要条件；
（3）x+y≠3是x≠1或y≠2的充分非必要条件；
（4）sinx＞tanx是cotx＜0的充要条件．

A．（1）（2）（4）

B．（1）（3）（4）

C．（2）（3）（4）

D．（1）（2）（3）（4）

Answer 1

分析：（1）分别解出不等式x²＞4、x³＜-8，即可判断出是否正确；
（2）利用三角形的内角和定理、和差化积及诱导公式即可判断出结论；
（3）由命题“若x=1且x=2，则x+y=3”正确，其逆命题不正确，可知此命题的逆否命题正确，否命题不正确，即可判断出结论；
（4）由sinx＞tanx?tanx（cosx-1）＞0即可判断出结论．

解答：解：（1）由x³＜-8，得（x+2）（x²+2x+4）＜0，∵x²+2x+4=（x+1）²+3＞0，∴x+2＜0，∴x＜-2，∴-x＞2，∴x²＞4．
由x²＞4，得x＞2或x＜-2，当x＞2时，x³＞8．
故x²＞4是x³＜-8的必要非充分条件．
因此（1）正确．
（2）∵A+B=π-C，得cos

A+B

2

=cos

π-C

2

=sin

C

2

＞0，
∴sinA＞sinB?sinA-sinB=2cos

A+B

2

sin

A-B

2

＞0?sin

A-B

2

＞0?A＞B．
故△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要条件；因此（2）正确．
（3）由x+y≠3⇒x≠1或y≠2；而x≠1或y≠2推不出x+y≠3，（如x=y=1.5⇒x+y=3）．故x+y≠3是x≠1或y≠2的充分不必要条件，即（3）正确；
（4）sinx＞tanx?tanx（cosx-1）＞0?tanx＜0?cotx＜0，故sinx＞tanx是cotx＜0的充要条件，即（4）正确．
综上可知：（1）（2）（3）（4）都正确．
故选D．

点评：熟练掌握不等式的性质及解法、三角函数的性质及其关系、充分必要条件是解题的关键．