题目内容
如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°D为棱BB1的中点．（1）求证：面DA1C⊥面AA1C1C；
（2）若二面角A-A1D-C的平面角为60°，求
| AA1 | AB |
分析：（1）连接A1C与AC1交于点F，连接EF，欲证平面A1EC⊥平面AA1C1C，根据面面垂直的判定定理可知在平面A1EC内一直线与平面AA1C1C垂直，而根据线面垂直的判定定理可得EF⊥面AA1C1C，满足定理条件；
（2）先作出相应的辅助线，作出二面角的平面角，利用角为60°建立方程，即可求出比值．
（2）先作出相应的辅助线，作出二面角的平面角，利用角为60°建立方程，即可求出比值．
解答：
证明：（1）取A1C的中点E，取AC的中点F，连接EF，DE，BF．
则由条件可得DE∥BF，又面BAC⊥面AA1C1C且交于AC，∴BF⊥AC，
BF⊥面AA1C1C，∴DE⊥面AA1C1C
而DE?面DA1C，所以平面DA1C⊥平面AA1C1C．
（2）延长DA1交AB的延长线于点G，则有CB⊥平面AA1B1C
过B作BH⊥A1G于H，边CH，则A1G⊥CH，
所以∠CHB为二面角A-A1D-C的平面角．
设AA1=2b，AB=BC=a，在直角三角形A1AG中，AB=BG，
在直角三角形DBG中，HB=
=
，
在直角三角形CHB中，tan∠CHB=
=
，
∴
=tan60°=
．
∴
=
，
∴
=
．
证明：（1）取A1C的中点E，取AC的中点F，连接EF，DE，BF．则由条件可得DE∥BF，又面BAC⊥面AA1C1C且交于AC，∴BF⊥AC，
BF⊥面AA1C1C，∴DE⊥面AA1C1C
而DE?面DA1C，所以平面DA1C⊥平面AA1C1C．
（2）延长DA1交AB的延长线于点G，则有CB⊥平面AA1B1C
过B作BH⊥A1G于H，边CH，则A1G⊥CH，
所以∠CHB为二面角A-A1D-C的平面角．
设AA1=2b，AB=BC=a，在直角三角形A1AG中，AB=BG，
在直角三角形DBG中，HB=
| BD•BG |
| DG |
| ab | ||
|
在直角三角形CHB中，tan∠CHB=
| BC |
| BH |
| ||
| b |
∴
| ||
| b |
| 3 |
∴
| 2b |
| 2 |
| 2 |
∴
| AA1 |
| AB |
| 2 |
点评：本小题主要考查平面与平面垂直的判定，以及二面角及其度量等有关基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．
练习册系列答案
名牌中学课时作业系列答案
明天教育课时特训系列答案
浙江新课程三维目标测评课时特训系列答案
周周清检测系列答案
相关题目
如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°D为棱BB1的中点．
中，
点
是
的中点.
；
平面
；
的体积.
中，
点
是
的中点.
；
平面
；
的体积.
中，
点
是
的中点.
；（Ⅱ）求证：
平面
；
的体积.