Question

在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N．若．
（1）求证：x与y的关系为；
（2）设，定义在R上的偶函数F（x），当x∈[0，1]时F（x）=f（x），且函数F（x）图象关于直线x=1对称，求证：F（x+2）=F（x），并求x∈[2k，2k+1]（k∈N）时的解析式；
（3）在（2）的条件下，不等式F（x）＜-x+a在x∈[2k，2k+1]（k∈N）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用平行四边形对边平行且相等以及平行线分线段成比例可得x与y的关系．
（2）F（x）图象关于直线x=1对称⇒F（2-x）=F（x）⇒F（x+2）=F（-x）再利用F（x）=F（-x）可得F（x+2）=F（x）．
在把x∈[2k，2k+1]转化为x-2k∈[0，1]，利用x∈[0，1]时F（x）=f（x）可得x∈[2k，2k+1]（k∈N）时的解析式．
（3）利用转化的思想把F（x）＜-x+a转化为对x∈[2k，2k+1]（k∈N）恒成立，再求后面的最大值即可．
解答：解：（1）∵==（2分）
∴，从而．（4分）

（2）当x∈[0，1]时，．
∵F（x）图象关于直线x=1对称，
∴F（2-x）=F（x），（5分）
∴F（x+2）=F（-x），又F（x）为偶函数，
∴F（x+2）=F（x）．（7分）
设x∈[2k，2k+1]，则x-2k∈[0，1]，（8分）
∴，即．（10分）

（3）不等式为，（12分）
∴对x∈[2k，2k+1]（k∈N）恒成立，
因此．（14分）
∵在x∈[2k，2k+1]上单调递增，
∴x=2k+1时其最大值为，
∴，即（k∈N）．（16分）
点评：本题是对向量和函数的奇偶性，单调性，对称性和恒成立问题的综合考查，是一道综合性极强的好题．