Question

已知函数的图象在点x=0处的切线方程为y=3x-2．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）设f′（x）≥6，求此不等式的解集．

Answer 1

解：（Ⅰ）把x=0代入y=3x-2中，得：y=-2，，则切点坐标为（0，-2），
把（0，-2）代入f（x）中，得：b=-2，
求导得：f′（x）=x²-2x+a，把x=0代入得：f′（0）=a，
又切线方程的斜率k=3，则a=3；
（Ⅱ）把a=3代入导函数得：f′（x）=x²-2x+3，
代入不等式得：x²-2x+3≥6，
变形得：（x-3）（x+1）≥0，
可化为：或
解得：x≤-1或x≥3，
则原不等式的解集为（-∞，-1]∪[3，+∞）．
分析：（Ⅰ）先把x=0代入切线方程，求出的y值为切点的纵坐标，确定出切点坐标，把切点坐标代入f（x）中即可求出b的值，然后求出f（x）的导函数，把x=0代入导函数中，令求出的导函数值等于切线方程的斜率3，即可求出a的值；
（Ⅱ）把第一问中求出的a与b的值代入f（x）的导函数中，确定出导函数解析式，令导函数等于等于6，得到关于x的一元二次不等式，求出不等式的解集即可．
点评：此题考查了利用导数研究曲线上某地切线方程的斜率，以及一元二次不等式的解法．要求学生掌握求导法则，采用转化的思想求不等式的解集．