Question

某公司生产某种产品的固定成本为2万元，每生产一件产品增加投入150元，已知收益T（单位：元）满足T（x）=

450x- 1 2 x2(0≤x≤400) 100000(x＞400))

，其中x是产品的月产量．
（Ⅰ）将利润W表示成月产量x的函数；
（Ⅱ）当月产量为多大时，公司的月利润最大？（收益=成本+利润）

Answer 1

分析：（I）月利润W=月销售收入T（x）-生产仪器增加投入-固定成本；因T（x）是分段函数，故分别计算0≤x≤400，x＞400 时，W的解析式；
（II）因为利润函数W是分段函数，所以要分别在0≤x≤400，x＞400 时，计算W的最大值，通过比较得出W在其定义域上的最大值．

解答：解：（I）当0≤x≤400 时，W=450x-

1

2

x²-20000-150x=-

1

2

x²+300x-20000；
当x＞400 时，W=100000-20000-150x=-150x+80000；     
综上所述：W=

- 1 2 x2+300x-20000，(0≤x≤400) -150x+80000     (x＞400)

．
（II）当0≤x≤400时，f（x）=-

1

2

（x-300）²+25000，
∴当x=300 时，f（x）_max=25000；                  
当x＞400 时，f（x）=-150x+80000 是减函数，
∴f（x）＜-150×400+80000=20000；
 综上所述，当x=300 时，W_max=25000．
所以，当月产量为250台时，公司获得的月利润最大．

点评：本题考查了分段函数模型的应用，当分段函数求最值时，要分别在每一区间上求出最值，通过比较得出整个定义域上的最值．