题目内容
【题目】在四棱锥中,侧面
底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,
,
,
,
,E,F分别为AD,PC的中点.
Ⅰ
求证:
平面BEF;
Ⅱ
若
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】
(1)连接交
于
,并连接
,
,由空间几何关系可证得
,利用线面平行的判断定理可得
平面
.
(2)(法一)取中点
,连
,
,
,由二面角的定义结合几何体的特征可知
为二面角
的平面角,计算可得二面角
的余弦值为
.
(法二)以为原点,
、
、
分别为
、
、
建立直角坐标系,则平面
法向量可取:
,平面
的法向量
,由空间向量的结论计算可得二面角
的余弦值为
.
(1)连接交
于
,并连接
,
,
,
,
为
中点,
,且
,
四边形
为平行四边形,
为
中点,又
为
中点,
,
平面
,
平面
,
平面
.
(2)(法一)由为正方形可得
,
.
取中点
,连
,
,
,
侧面
底面
,且交于
,
,
面
,又
,
为二面角
的平面角,
又,
,
,
,所以二面角
的余弦值为
.
(法二)由题意可知
面
,
,如图所示,以
为原点,
、
、
分别为
、
、
建立直角坐标系,则
,
,
,
.
平面法向量可取:
,
平面中,设法向量为
,则
,
取,
,所以二面角
的余弦值为
.
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