Question

已知矩形ABCD内接于圆柱下底面的圆O，PA是圆柱的母线，若AB=6，AD=8，此圆柱的体积为300π，求异面直线AC与PB所成角的余弦值．

Answer 1

分析：建立空间直角坐标系A-xyz，求出向量

AC

与

PB

的坐标，设异面直线AC与PB所成角所成的角θ，
向量

AC

与

PB

的夹角为φ，利用两个向量的夹角公式，求出cosφ 的值，再取绝对值即得所求．

解答：解：设圆柱下底面圆O的半径为r，由矩形ABCD内接于圆O，可知AC是圆O的直径，于是2r=AC=

62+82

=10，得r=5，
又圆柱的体积V=25π•PA=300π，可得PA=12．
分别以直线AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，可得

AC

=(6，8，0)，

PB

=(6，0，-12)，
设异面直线AC与PB所成角所成的角θ，向量

AC

与

PB

的夹角为φ，
则cosθ=|cosφ|=

| AC • PB |

| AC |•| PB |

=

36

10×6 5

=

3 5

25

，
故异面直线AC与PB所成角的余弦值为

3 5

25

．

点评：本题考查异面直线所成的角的定义和求法，两个向量的数量积的定义，求出向量

AC

与

PB

的坐标是解题的关键，
注意cosθ 和cosφ的关系．