Question

记等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₂+a₄=6，S₄=10．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_n•2ⁿ（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）：利用待定系数法，设首项和公差，由a₂+a₄=6，S₄=10，列方程组，可得数列首项和公差，从而得解．
（2）：由a_n=n，b_n=a_n•2ⁿ=n•2ⁿ可知，要求{b_n}的前n项和，可利用错位相减的方法求得．（一个等差数列和一个等比数列对应项之积组成的数列，可用错位相减法求和）

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₂+a₄=6，S₄=10，
可得

2a1+4d=6 4a1+ 4×3 2 d=10

，（2分），
即

a1+2d=3 2a1+3d=5

，
解得

a1=1 d=1

，（4分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）=n，
故所求等差数列{a_n}的通项公式为a_n=n．（5分）
（Ⅱ）依题意，b_n=a_n•2ⁿ=n•2ⁿ，
∴T_n=b₁+b₂++b_n=1×2+2×2²+3×2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，（7分）
又2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，（9分）
两式相减得-T_n=（2+2²+2³++2^n-1+2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹（11分）=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，（12分）
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．（13分）

点评：本题是数列求通项和前n项和的题型，高考常见，其中：
（1）可利用利用待定系数法求解，这是解数列题的一般方法，要熟练掌握．
（2）对于一个等差数列和一个等比数列对应项之积组成的数列，可用错位相减法求和，这也是教材推导等比数列前n项和公式时的方法．另外数列求和的方法还有倒序相加，裂项相消，分组求和等方法，要熟练掌握．都是高考中常考的知识点．