题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的左顶点为A，右焦点为F，且过点（1， $数学公式$ ），椭圆C的焦点与曲线 $数学公式$ 的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F任作椭圆C的一条弦PQ，直线AP、AQ分别交直线x=4于M、N两点，点M、N的纵坐标分别为m、n．请问以线段MN为直径的圆是否经过x轴上的定点？若存在，求出定意的坐标，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意，椭圆C的焦点为（-1，0），（1，0），且过点（1， $\text{[math]}$ ），
由椭圆的定义，可得2a=4，∴a=2
∴b²=a²-1=3
∴椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ；
（2）假设以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点，由（1）知F（1，0）
①当PQ⊥x轴时，P，Q的横坐标均为1，将x=1代入椭圆方程可得y=± $\text{[math]}$
不妨令P（1， $\text{[math]}$ ），Q（1，- $\text{[math]}$ ）
由A，P，M三点共线，得 $\text{[math]}$ ，∴m=3
同理可得n=-3
∴以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）²+y²=9
令y=0，可得x=1或x=7
∴以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0）；
②当直线PQ与x轴不垂直时，∵A（-2，0），M（4，m），∴ $\text{[math]}$
∴直线AM的方程为y= $\text{[math]}$
代入椭圆方程，整理可得（27+m²）x²+4m²x+4m²-108=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则-2与x₁是上述方程的两个实根
∴-2x₁= $\text{[math]}$ ，∴x₁= $\text{[math]}$ ，∴y₁= $\text{[math]}$
∴P（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
同理可得Q（ $\text{[math]}$ ）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵P，F，Q三点共线，∴ $\text{[math]}$
∴（m-n）（9+mn）=0
∵m≠n，∴9+mn=0，∴mn=-9
∴以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）²+（y- $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$
将（1，0）代入上式的坐标，可得（1-4）²+（0- $\text{[math]}$ ）²=-mn++（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$
∴以线段MN为直径的圆的方程经过点（1，0）
同理（7，0）也在圆上，
综上，以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0）．
分析：（1）由题意，椭圆C的焦点为（-1，0），（1，0），且过点（1， $\text{[math]}$ ），由椭圆的定义，可得a的值，从而可求椭圆C的方程；
（2）假设以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点，由（1）知F（1，0），分类讨论：①当PQ⊥x轴时，以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）²+y²=9，可得以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0）；②当直线PQ与x轴不垂直时，可得以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）²+（y- $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ，验证（1，0），（7，0）在圆上
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查恒过定点问题，考查分类讨论的数学思想，综合性强．