Question

已知函数f（x）=

1

2

x²和g（x）=4-x，
（Ⅰ）解关于x的不等式|f′（x）|+|g（x）|＞6；
（Ⅱ）求由曲线y=f（x）和y=g（x）围成的封闭图形的面积．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′（x）=x，
∴要解的不等式可化为|x|+|x-4|＞6，
∴

x≥4 x+x-4＞6

或

0≤x＜4 x+4-x＞6

或

x＜0 -x+4-x＞6

，
∴x＞5或x＜-1，
∴不等式的解集为（-∞，-1）∪（5，+∞）．
（Ⅱ）由

y= 1 2 x2 y=4-x

消去y得：x²+2x-8=0解得x₁=2和x₂=-4
∴所求图形的面积S=

∫

2-4

[(4-x)-

1

2

x2]dx=(4x-

1

2

x2-

1

6

x3)

|

2-4

=18．