题目内容

已知复数z是关于x的实系数一元二次方程x²+mx+25=0的一个根，同时复数z满足关系式|z|+z=8+4i．
（1）求|z|的值及复数z；
（2）求实数m的值．

解：（1）设 $\text{[math]}$
则 $\text{[math]}$
得 $\text{[math]}$
所以：z=3+4i，|z|=5
（2）因为方程两根之积为25，所以 $\text{[math]}$ 也是原方程的一根，且 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$
故：m=-6．
分析：（1）直接设出复数z，利用复数相等对应实部和实部相等，虚部和虚部相等解方程即可求出|z|的值及复数z；
（2）因为方程两根之积为25，所以 $\text{[math]}$ 也是原方程的一根，再结合（1）的结论和一元二次方程的根的分布与系数的关系即可求出实数m的值．
点评：本题第一问中涉及到复数相等．复数相等的对应结论是实部和实部相等，虚部和虚部相等．