Question

已知关于x的不等式k•4^x-2^x+1+6k＜0
（1）若不等式的解集A={x|1＜x＜log₂3}，求实数k的值；
（2）若不等式的解集A?{x|1＜x＜log₂3}，求实数k的取值范围；
（3）若不等式的解集A⊆{x|1＜x＜log₂3}，求实数k的取值范围；
（4）若不等式的解集A∩{x|1＜x＜log₂3}≠?，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：令t=2^x，则原不等式可转化为kt²-2t+6k＜0，由1＜x＜log₂3可得2＜t＜3
（1）不等式解集区间的端点就是相应方程的根，所以方程kt²-2t+6k=0的两根分别为2和3，再利用一元二次方程根与系数的关系，可得实数k的值；
（2）函数f（t）=kt²-2t+6k，分k＞0，k=0，k＜0三种情况分别进行讨论可得实数k的取值范围
（3）原命题题等价于不等式组：△≤0或 f（2）≥0，f（3）≥02≤1k先解△≤0，可得符合条件的k的取值范围．
（4）由A∩{t|2＜t＜3}≠∅可得，先寻求A∩{t|2＜t＜3}=∅的k的范围，再利用补集进行求解

解答：解：（1）由已知得，2和3是相应方程kt²-2t+6k=0的两根且k＞0，k=

2

5

（2）∵A?{x|1＜x＜log₂3}，∴A?{x|2＜t＜3}且A中的元素t＞0
令f（t）=kt²-2t+6k，
当k＞0时，则有 f（2）≤0，f（3）≤0
解得0＜k≤

2

5

当k=0时，A={t|t＞0}显然满足条件
当k＜0时，由于x=

1

k

＜0，则只要

f(2)≤0 f(3)＜0

，此时可得k＜0
综上可得a≤

2

5

（3）对应方程的△=4-24k²，令f（t）=kt²-2t+6k
则原问题等价于△≤0或 f（2）≥0，f（3）≥0，2≤

1

k

≤3
又k＞0，∴k≥

6

6

由 f（2）≥0，f（3）≥0，2≤

1

k

≤3解得

2

5

≤k≤

1

2

综上，符合条件的k的取值范围是[

2

5

，+∞）
（4）当A∩{t|2＜t＜3}=∅时可得
若k=0，A={t|t＞0}，符合条件
若k＞0可得

f(2)≥0 f(3)≥0 1 k ≤2

或

f(2)≥0 f(3)≥0 1 k ≥3

解不等式组可得，k≥

1

2

或k不存在
即k≥

1

2

时，A∩{t|2＜t＜3}=∅
0＜k＜

1

2

时A∩{t|2＜t＜3}≠∅
若k＜0可得，结合二次函数的图象可知A∩{t|2＜t＜3}≠∅
综上可得，k＜

1

2

点评：本题考查了一元二次方程根与一元二次不等式的关系，属于中档题．解题时应该注意求解过程中的分类讨论思想与数形结思想的运用．