题目内容
(本小题满分14分)
已知数列
是首项为
,公差为
的等差数列,
是首项为
,公比为
的等比数列,且满足
,其中
.
(Ⅰ)求
的值;
(Ⅱ)若数列
与数列
有公共项,将所有公共项按原顺序排列后构成一个新数列
,求数列
的通项公式;
(Ⅲ)记(Ⅱ)中数列
的前项之和为
,求证:
.
已知数列
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173006365379.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173006381192.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173006396197.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173006490263.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173006396197.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173006381192.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173006662553.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173006677518.gif)
(Ⅰ)求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173006381192.gif)
(Ⅱ)若数列
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173006724408.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173006490263.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173006771255.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173006786256.gif)
(Ⅲ)记(Ⅱ)中数列
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173006786256.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173006880220.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231730069111206.gif)
解:(Ⅰ)由题设
. ………1分
由已知
,所以
.又b>0,所以a<3. …2分
因为
,则
.又a>0,所以b>2,从而有
. …3分
因为
,故
. …………………4分
(Ⅱ)设
,即
. ………………5分
因为
,则
,所以
. ………………6分
因为
,且b∈N*,所以
,即
,且b=3. ……7分
故
. …………………8分
(Ⅲ)由题设,
. …………………9分
当![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173007348243.gif)
时,
,当且仅当
时等号成立,所以
. ……………11分
于是
. 12分
因为S1=3,S2=9,S3=21,则
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173007488933.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231730076601134.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173007676718.gif)
. …………………14分
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173006942694.gif)
由已知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173006958504.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173006974514.gif)
因为
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173006989400.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173007020400.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173007036378.gif)
因为
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173007083380.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173007098236.gif)
(Ⅱ)设
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173007114426.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173007145621.gif)
因为
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173007098236.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173007176581.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173007208567.gif)
因为
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173007223387.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173007239494.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173007254394.gif)
故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173007286470.gif)
(Ⅲ)由题设,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173007332750.gif)
当
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173007348243.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/2014082317300736485.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231730073791408.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173007395231.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173007410509.gif)
于是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231730074731882.gif)
因为S1=3,S2=9,S3=21,则
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173007488933.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231730076601134.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173007676718.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173007691667.gif)
略
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
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