Question

已知

i

，

j

是x，y轴正方向的单位向量，设

a

=(x-

3

)

i

+y

j

，

b

=(x+

3

)

i

+y

j

，且满足

b

•

i

=|

a

|．
（1）求点P（x，y）的轨迹方程；
（2）过点(

3

，0)的直线l交上述轨迹于A，B两点，且|AB|=8

3

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因P（x，y），欲求点M的轨迹C的方程，即寻找x，y之间 的关系式，利用向量间的关系求出P点的坐标后代入

b

•

i

=|

a

|即可得；
（Ⅱ）先设直线l的方程，将其与（1）中结论方程组成方程组，再利用两点间的距离公式列出关于直线方程中参数的等式，由此式即可求得参数，从而求得直线l的方程．

解答：解：（1）∵

b

•

i

=(x+

3

)

i

2+y

i

•

j

=x+

3

，（2分）
∴x+

3

=

(x- 3 )2+y2

，（5分）
化简得y2=4

3

x，（8分）
（2）设l：x=ty+

3

，由

x=ty+ 3 y2=4 3 x

?y2=4

3

(ty+

3

)?y2-4

3

ty-12=0（10分）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）由|AB|=8

3

得

1+ 1 t2

|y1-y2|=

1+ 1 t2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

1+ 1 t2

•

(4 3 t)2+48

=8

3

（12分）

1+ 1 t2

•

t2+1

=2?t2=1?t=±1，（14分）
所以直线l的方程为x-y-

3

=0或x+y-

3

=0．（16分）

点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．