题目内容

已知i,j是x,y轴正方向上的单位向量,设a=(x-
3
)i+yj,b=(x+
3
)i+yj,,且满足|a|+|b|=4.
(1)求点P(x,y)的轨迹C的方程;
(2)如果过点Q(0,m)且方向向量为c=(1,1)的直线l与点P的轨迹交于A,B两点,当△AOB的面积取到最大值时,求m的值.
分析:(1)条件“|a|+|b|=4”可以看成是动点到两定点的距离之和为4,联想椭圆的定义解决“点P(x,y)的轨迹C”;
(2)△AOB的面积取到最大值问题,要先建立关于某个自变量的函数,后再求此函数的最大值.
解答:解:(1)∵a=(x-
3
)i+yj,
b=(x+
3
)i+yj且|a|+|b|=4,
∴点P(x,y)到点(
3
,0),(-
3
,0)的距离之和为4,
故点P的轨迹方程为
x2
4
+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)依题意得,直线AB的方程y=x+m,代入椭圆方程,得5x2+8mx+4m2-4=0,
则x1+x2=-
8
5
m,x1•x2=
4
5
(m2-1),
又O点到AB的距离d=
|m|
2

因此,S△AOB=
1
2
|AB|•d
=
1
2
(1+1)[(x1+x22-4x1x2]  
|m|
2

=
2
5
(5-m)2m2

∴当5-m2=m2时,即m=±
10
2
时,Smax=1.
点评:(1)平面向量与解析几何的结合通常涉及轨迹等问题的处理,目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化,从而将推理转化为运算,或者考虑向量运算的几何意义,利用其几何意义解决有关问题.
(2)直线l与点P的轨迹的交点问题,组成方程组解决.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网