题目内容
【题目】设点为椭圆
的右焦点,点
在椭圆
上,已知椭圆
的离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过右焦点的直线
与椭圆相交于
,
两点,记
三条边所在直线的斜率的乘积为
,求
的最大值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
试题(Ⅰ)求椭圆标准方程,一般需列出两个独立条件:及点
在椭圆上,解方程组得椭圆方程为
. (Ⅱ)由题意得需根据直线
斜率表示
三条边所在直线的斜率的乘积,由直线与椭圆联立方程组解得
,
,
从而
,
再根据二次函数求出其最大值.
试题解析:(Ⅰ)解:设,由题意,得
,
所以,
. 2分
则椭圆方程为,
又点在椭圆上,
所以,解得
,
故椭圆方程为. 5分
(Ⅱ)解:由题意,直线的斜率存在,右焦点
, 6分
设直线的方程为
,与椭圆的交点A(x1,y1),B(x2,y2), 7分
由消去
,
得. 8分
由题意,可知,则有
,
, 9分
所以直线的斜率
,直线
的斜率
, 10分
所以
. 12分
即,
所以当时,
三条边所在直线的斜率的乘积
有最大值
. 14分
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