题目内容
【题目】设点
为椭圆
的右焦点，点
在椭圆
上，已知椭圆的离心率为
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过右焦点的直线
与椭圆相交于
，
两点，记
三条边所在直线的斜率的乘积为
，求的最大值.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】
试题（Ⅰ）求椭圆标准方程，一般需列出两个独立条件：
及点
在椭圆上，解方程组得椭圆方程为. （Ⅱ）由题意得需根据直线
斜率表示
三条边所在直线的斜率的乘积，由直线与椭圆联立方程组解得
，
，
从而
，
再根据二次函数求出其最大值.
试题解析：（Ⅰ）解：设
，由题意，得，
所以
，
. 2分
则椭圆方程为
，
又点在椭圆上，
所以
，解得
，
故椭圆方程为. 5分
（Ⅱ）解：由题意，直线的斜率存在，右焦点
， 6分
设直线的方程为
，与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 7分
由
消去
，
得
. 8分
由题意，可知
，则有，， 9分
所以直线
的斜率
，直线
的斜率
， 10分
所以
. 12分
即
，
所以当
时，三条边所在直线的斜率的乘积
有最大值. 14分
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