Question

已知函数f(x)=

mx

x2+n

(m，n∈R)在x=1处取到极值2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g(x)=lnx+

a

x

．若对任意的x₁∈R，总存在x₂∈[1，e]，使得g(x2)≤f(x1)+

7

2

，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函数的求导公式计算函数的导数，根据函数在x=1处取到极值得出函数在x=1处的导数为0，再把x=2代入函数，联立两式求出m，n的值即可．
已知函数f(x)=

mx

x2+n

(m，n∈R)在x=1处取到极值2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的定义域为R，且f（-x）=-f（x）．故f（x）为奇函数．f（0）=0，x＞0时，f（x）＞0，f（x）=

4

x+ 1 x

≤2．当且仅当x=1时取“=”．
故f（x）的值域为[-2，2]．从而f(x1)+

7

2

≥

3

2

．依题意有g(x)最小值≤

3

2

（7分）

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

m(x2+n)-2mx

(x+n)2

=

mx2-2mx+mn

(x2+n)2

（2分）
根据题意，f（x）=

mx

x2+n

，
f′（x）=-

mx2-mn

(x2+n)2

；
由f（x）在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，f（1）=2即

mn-m (1+n)2 =0 m 1+n =2

，
解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值．故f(x)=

4x

x2+1

（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的定义域为R，且f（-x）=-f（x）．故f（x）为奇函数．f（0）=0，x＞0时，f（x）＞0，f（x）=

4

x+ 1 x

≤2．当且仅当x=1时取“=”．
故f（x）的值域为[-2，2]．从而f(x1)+

7

2

≥

3

2

．依题意有g(x)最小值≤

3

2

（7分）
函数g(x)=lnx+

a

x

的定义域为（0，+∞），g′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

（8分）
①当a≤1时，g′（x）＞0函数g（x）在[1，e]上单调递增，其最小值为g(1)=a≤1＜

3

2

合题意；
②当1＜a＜e时，函数g（x）在[1，a）上有g′（x）＜0，单调递减，在（a，e]上有g′（x）＞0，单调递增，所以函数g（x）最小值为f（a）=lna+1，由lna+1≤

3

2

，得0＜a≤

e

．从而知1＜a≤

e

符合题意．
③当a≥e时，显然函数g（x）在[1，e]上单调递减，其最小值为g(e)=1+

a

e

≥2＞

3

2

，不合题意（11分）综上所述，a的取值范围为a≤

e

（12分）

点评：该题考查函数的求导，以及函数极值的应用，考查一个函数小于零一个函数时，小于它的最小值．要会利用函数的导数判断函数的单调性．