Question

将圆O：x²+y²=4上各点的纵坐标变为原来的一半（横坐标不变），得到曲线C．设O为坐标原点，直线l：与C交于A、B两点，N为线段AB的中点，延长线段ON交C于点E．若，则m=

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   8
4. D.
   

Answer 1

D
分析：根据圆O：x²+y²=4上各点的纵坐标变为原来的一半（横坐标不变），将圆O中y换为2y，变形后得到曲线C的方程，设A（x₁，y₁，B（x₂，y₂），将曲线C与圆O方程联立，消去x得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出y₁+y₂，再由N为AB的中点，利用中点公式表示出N的纵坐标，将N纵坐标代入直线l方程中表示出横坐标，确定出N的坐标，由，得到E的坐标，将E坐标代入曲线C方程中，得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
解答：解：将圆O：x²+y²=4上各点的纵坐标变为原来的一半（横坐标不变），
得到曲线C方程为x²+4y²=4，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线l与曲线C方程联立得：，
消去x得：（m²+4）y²+2my-1=0，
∴y₁+y₂=-，
又N为AB的中点，设N（x₀，y₀），
∴y₀==-，
将y₀=代入方程得：x=m•（-）+=，
∴N（，-），
∵，
∴E（，-），
将E坐标代入x²+4y²=4得：（）²+4（-）²=4，
整理得：m⁴-4m²-32=0，
∴m²=8或m²=-4（舍去），
则m=±2．
故选D
点评：此题考查了圆与椭圆方程的变换，椭圆与直线的位置关系，韦达定理，线段中点坐标公式，以及平面向量的数量积运算，是一道综合性较强的试题．