Question

将圆O：x²+y²=4上各点的纵坐标变为原来的一半（横坐标不变），得到曲线C．设O为坐标原点，直线l：x=my+

3

与C交于A、B两点，N为线段AB的中点，延长线段ON交C于点E．若

OE

=2

ON

，则m=（　　）

• A．2

  2

• B．-2

  2

• C．8
• D．±2

  2

Answer 1

分析：根据圆O：x²+y²=4上各点的纵坐标变为原来的一半（横坐标不变），将圆O中y换为2y，变形后得到曲线C的方程，设A（x₁，y₁，B（x₂，y₂），将曲线C与圆O方程联立，消去x得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出y₁+y₂，再由N为AB的中点，利用中点公式表示出N的纵坐标，将N纵坐标代入直线l方程中表示出横坐标，确定出N的坐标，由

OE

=2

ON

，得到E的坐标，将E坐标代入曲线C方程中，得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答：解：将圆O：x²+y²=4上各点的纵坐标变为原来的一半（横坐标不变），
得到曲线C方程为x²+4y²=4，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线l与曲线C方程联立得：

x=my+ 3 x2+4y2=4

，
消去x得：（m²+4）y²+2

3

my-1=0，
∴y₁+y₂=-

2 3 m

m2+4

，
又N为AB的中点，设N（x₀，y₀），
∴y₀=

y1+y2

2

=-

3 m

m2+4

，
将y₀=

3 m

m2+4

代入方程得：x=m•（-

3 m

m2+4

）+

3

=

4 3

m2+4

，
∴N（

4 3

m2+4

，-

3 m

m2+4

），
∵

OE

=2

ON

，
∴E（

8 3

m2+4

，-

2 3 m

m2+4

），
将E坐标代入x²+4y²=4得：（

8 3

m2+4

）²+4（-

2 3 m

m2+4

）²=4，
整理得：m⁴-4m²-32=0，
∴m²=8或m²=-4（舍去），
则m=±2

2

．
故选D

点评：此题考查了圆与椭圆方程的变换，椭圆与直线的位置关系，韦达定理，线段中点坐标公式，以及平面向量的数量积运算，是一道综合性较强的试题．