题目内容

已知函数f(x)=-x+2n
1+x2
在区间（0，+∞）上的最小值是an（n∈N*）．
（1）求an；
（2）设Sn为数列{
1
a
2
n
}的前n项的和，求
lim
n→∞
Sn的值；
（3）若Tn=
3
cos
π
an
 -sin
π
an
，试比较Tn与Tn+1的大小．
分析：（1）利用导数判断函数的单调性，由函数的单调性确定函数的最小值，可求an的值．
（2）对数列{
1
a
2
n
}的同项公式进行变形、裂项求和，然后再对和求极限．
（3）化简Tn的解析式，由
π
6
＜
π
an+1
+
π
6
＜
π
an
+
π
6
≤
π
3
+
π
6
＜
5π
6
，及
y=cosx在[0，π]上单调递减，可得Tn＜Tn+1 ．
解答：解：（1）由题f′(x)=
2nx
1+x2
-1
令f'（x）=0，得x=
1
4n2-1

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所以an=
4n2-1
；
（2）因为
1
a
2
n
=
1
4n2-1
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
所以Sn=
1
2
(1-
1
2n+1
)
所以
lim
n→∞
Sn=
1
2

（3）Tn=
3
cos
π
an
-sin
π
an
=2cos(
π
an
+
π
6
)，

又由
1
an
=
1
4n2-1
知0＜
1
an+1
＜
1
an
≤
1
3
，
从而
π
6
＜
π
an+1
+
π
6
＜
π
an
+
π
6
≤
π
3
+
π
6
＜
5π
6

又y=cosx在[0，π]上单调递减，所以Tn＜Tn+1．
点评：本题考查在闭区间上利用导数求函数的最值，求数列的极限，及用裂项法进行数列求和．是中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
3x+5，(x≤0)
x+5，(0＜x≤1)
-2x+8，(x＞1)
，
求（1）f(
1
π
)，f[f(-1)]的值；
（2）若f（a）＞2，则a的取值范围．
精英家教网已知函数f(x)=
(1-3a)x+10ax≤7
ax-7x＞7.
是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A、(
1
3
，1)
B、（
1
3
，
1
2
]
C、（
1
3
，
6
11
]
D、[
6
11
，1）
已知函数f(x)=
|x-1|-a
1-x2
是奇函数．则实数a的值为
 
．
已知函数f(x)=
2x-2-x2x+2-x

（1）求f（x）的定义域与值域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）研究f（x）的单调性．
已知函数f(x)=
x-1x+a
+ln(x+1)，其中实数a≠1．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）在x=1处取得极值，试讨论f（x）的单调性．

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