Question

已知正项数列{a_n}，{b_n}满足：对任意正整数n，都有a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，且a₁=10，a₂=15．
（Ⅰ）求证：数列{

b

n}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅲ） 设Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，如果对任意正整数n，不等式2aSn＜2-

bn

an

恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）通过已知得到关于数列的项的两个等式，处理方程组得到2

bn

=

bn-1

+

bn+1

，利用等差数列的定义得证
（II）利用等差数列的通项公式求出

bn

，求出b_n，a_n．
（III）先通过裂项求和的方法求出S_n，代入2aSn＜2-

bn

an

化简得到关于n的二次不等式恒成立，构造新函数，通过对二次项系数的讨论求出函数的最大值，令最大值小于0，求出a的范围．

解答：解：（I）由已知，得2b_n=a_n+a_n+1①，a_n+1²=b_n•b_n+1②．由②得an+1=

bnbn+1

③．
将③代入①得，对任意n≥2，n∈N^*，有2bn=

bn-1bn

+

bnbn+1

．
即2

bn

=

bn-1

+

bn+1

．
∴{

bn

}是等差数列．（4分）
（Ⅱ）设数列{

bn

}的公差为d，
由a₁=10，a₂=15．经计算，得b1=

25

2

，b2=18．
∴

b1

=

5

2

2

，d=

b2

-

b1

=3

2

-

5

2

2

=

2

2

．
∴

bn

=

5

2

2

+(n-1)•

2

2

=

2

2

(n+4)．
∴bn=

(n+4)2

2

，an=

(n+3)(n+4)

2

．（9分）
（Ⅲ）由（1）得

1

an

=

2

(n+3)(n+4)

=2(

1

n+3

-

1

n+4

)．∴Sn=2[(

1

4

-

1

5

)+(

1

5

-

1

6

)++(

1

n+3

-

1

n+4

)]=2(

1

4

-

1

n+4

)．
不等式2aSn＜2-

bn

an

化为4a(

1

4

-

1

n+4

)＜2-

n+4

n+3

．
即（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0．
设f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8，则f（n）＜0对任意正整数n恒成立．
当a-1＞0，即a＞1时，不满足条件；
当a-1=0，即a=1时，满足条件；
当a-1＜0，即a＜1时，f（n）的对称轴为x=-

3(a-2)

2(a-1)

＜0，f（n）关于n递减，
因此，只需f（1）=4a-15＜0．解得a＜

15

4

，∴a＜1．
综上，a≤1．（14分）

点评：证明数列是等差数列或等比数列可用的依据是定义或中项；解决不等式恒成立常通过分离参数，构造新函数，转化为求新函数的最值．