Question

第8题的题干为：如图，已知正方形的边长为1，在正方形ABCD中有两个相切的内切圆．
（1）求这两个内切圆的半径之和；
（2）当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？
变式（1）在第8题中，若正方形改为矩形，情况又如何？
（2）在第8题中，若正方形改为正方体，圆改为球，情况如何？

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可知三角形CEO₁为等腰直角三角形，根据勾股定理得到CO₁等于 R₁；同理得到AO₂等于 R₂，根据线段AC等于AO₂+O₂O₁+O₁C，将各自的值代入即可表示出AC的长，又根据正方形的边长为1，利用勾股定理求出AC的长度，两者相等即可求出两半径之和的值；
（2）根据两圆的半径，利用圆的面积公式表示出两圆的面积之和，由（1）中求出的两半径之和表示出R₂，代入两圆的面积之和的式子中消去R₂，得到关于R₁的关系式，根据完全平方大于等于0求出两圆面积之和的最小值时，两半径的值即可．
变式：（1）设AB=a，AD=b，作直角△O₁O₂G，利用勾股定理可得（R₁+R₂）²=[b-（R₁+R₂）]²+[a-（R₁+R₂）]²解得R₁+R₂=（a+b），表示出两圆面积之和S=πR₁²+πR₂²，当R₁或R₂=min（a，b）时，S有最大值．
（2）球O₁和球O₂外切，球O₁和以C₁为顶的三面角的三个面相切，球O₂和以A为顶的三面角的三个面相切（设棱长为1），求出两球的体积和，然后利用二次函数求出最大值即可．
解答：解：（1）由图知∠CEO₁=90°，CE=O₁E=R₁
∴2R₁²=CO₁²，CO₁=．
同理AO₂=．
∴AC=AO₂+O₂O₁+O₁C
=（R₁+R₂）+（R₁+R₂）
=（R₁+R₂），
又∵AB=1，∴AC=
∴（R₁+R₂）=，
∴R₁+R₂=；
（2）两圆面积之和S=πR₁²+πR₂²
=
=
=．
∴当R₁=，即R₁=R₂时S为最小．
因R₁的最大值为R₁=，这时R₂为最小值，其值为R₂=；
又当R₂=时，R₁有最小值R₁=，
故当R₁=（此时R₂=）或R₁=（此时R₂=）时，S有最大值．
变式解：（1）如图，ABCD为矩形．
设AB=a，AD=b
作直角△O₁O₂G则有
（R₁+R₂）²=[b-（R₁+R₂）]²+[a-（R₁+R₂）]²
解之，得R₁+R₂=（a+b）
但∵a+b＞R₁+R₂；，
∴R₁+R₂=（a+b）
（2）因两圆面积之和S=πR₁²+πR₂²

当R₁或R₂=min（a，b）时，S有最大值．
如图，球O₁和球O₂外切，
球O₁和以C₁为顶的三面角的三个面相切，
球O₂和以A为顶的三面角的三个面相切（设棱长为1）
同前类似可计算出AO₂=R₂，C₁O₁=R₁，R₁+R₂=．
两球的体积和V=







注：在（1）中的a，b必须限制为b＜a≤2b，否则在矩形内之二圆无法相切．
点评：此题考查学生掌握正方形的性质，掌握直线与圆相切时所满足的条件以及两圆外切时所满足的条件，是一道多知识的综合题．变式题主要考查了长方形的两个内切圆，以及正方体的内切球和球的性质，同时考查了空间想象能力，属于中档题．