题目内容

9.已知P为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a>0,b>0)的左支上一点,F1,F2分别是它的左右焦点,直线PF2与圆:x2+y2=a2相切,切点为线段PF2的中点,则该双曲线的离心率为$\sqrt{5}$.

分析 由题意,△PF1F2为直角三角形,PF1⊥PF2,|PF1|=2a,|PF2|=|PF1|+2a=4a,利用勾股定理,建立方程,即可求出双曲线的离心率.

解答 解:由题意,△PF1F2为直角三角形,PF1⊥PF2,|PF1|=2a,|PF2|=|PF1|+2a=4a,
在直角△PF1F2中,4c2=4a2+16a2
∴c2=5a2
∴e=$\sqrt{5}$.
故答案为:$\sqrt{5}$.

点评 本题考查直线与圆相切,考查双曲线的定义,考查双曲线的几何性质,属于中档题.

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