Question

若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x₁，x₂∈R有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，则下列说法一定正确的是

1. A.
   f（x）为奇函数
2. B.
   f（x）为偶函数
3. C.
   f（x）+1为奇函数
4. D.
   f（x）+1为偶函数

Answer 1

C
分析：对任意x₁，x₂∈R有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，由此得f（0）=-1，f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，所以f（x）+1为奇函数．
解答：∵对任意x₁，x₂∈R有
f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，
∴令x₁=x₂=0，得f（0）=-1
∴令x₁=x，x₂=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1，
∴f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，
∴f（x）+1为奇函数．
故选C
点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．