题目内容
已知函数f(x)=log| 1 |
| 3 |
（1）当x∈[
| 1 |
| 3 |
（2）求关于x的函数y=[g（x）]2-2ag（x）+3（a≤3）当x∈[-1.1]时的最小值h（a）；
（3）我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：
①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在函数的定义域内存在区间[p，q]（p＜q）使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]．
（Ⅰ）判断（2）中h（x）是否为“和谐函数”？若是，求出p，q的值或关系式；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）若关于x的函数y=
| x2-1 |
分析：（1）将f（x）看成关于x的方程，求出x，将x，y互换得到g（x）．
（2）通过换元，将函数转化为关于t的二次函数，求出对称轴，通过对对称轴与区间位置关系的讨论，求出最小值g（a）．
（3）据和谐函数的定义，列出方程组，求出p，q满足的条件．
（2）通过换元，将函数转化为关于t的二次函数，求出对称轴，通过对对称轴与区间位置关系的讨论，求出最小值g（a）．
（3）据和谐函数的定义，列出方程组，求出p，q满足的条件．
解答：解：（1）由y=log
x得x=(
)y
∴f-1(x)=(
)x(-1≤x≤1)
（2）令t=f-1（x），x∈[-1，1]．由（1）知t∈[
，3]．
∴函数y=[f-1（x）]2-2a[f-1（x）]+3=t2-2at+3 (
≤t≤3)
对称轴x=a（a≤3）
①a≤
时，ymin=(
)2-
+3=
-
②
＜a≤3，ymin=a2-2a2+3=3-a2．
∴g(a)=
．
（3）对（2）中g(a)=
，
易知g（x）在（-∞，3]上单减．
（3）（I）若g（x）为“和谐函数”，则g（x）在（-∞，3]上存在区间[p，q]（p＜q），使得g（x）在区间[p，q]
上的值域为[p2，q2]．
①若p＜q≤
，g（x）递减，
得p+q=
，
这与p＜q≤
矛盾．
②
≤p＜q≤3时
恒成立
此时p、q、满足
，这样的p，q存在．
③p＜
，
＜q≤3时，解得p=
矛盾
∴（2）中g（x）是“和谐函数”，p、q满足
（II）∵y=
+t在[1，+∞）递增，有和谐函数的定义知，该函数在定义域[1，+∞）内，存在区间[p，q]（p＜q），使得该函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴f-1(x)=(
| 1 |
| 3 |
（2）令t=f-1（x），x∈[-1，1]．由（1）知t∈[
| 1 |
| 3 |
∴函数y=[f-1（x）]2-2a[f-1（x）]+3=t2-2at+3 (
| 1 |
| 3 |
对称轴x=a（a≤3）
①a≤
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2a |
| 3 |
| 28 |
| 9 |
| 2a |
| 3 |
②
| 1 |
| 3 |
∴g(a)=
|
（3）对（2）中g(a)=
|
易知g（x）在（-∞，3]上单减．
（3）（I）若g（x）为“和谐函数”，则g（x）在（-∞，3]上存在区间[p，q]（p＜q），使得g（x）在区间[p，q]
上的值域为[p2，q2]．
①若p＜q≤
| 1 |
| 3 |
|
| 2 |
| 3 |
这与p＜q≤
| 1 |
| 3 |
②
| 1 |
| 3 |
|
此时p、q、满足
|
③p＜
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴（2）中g（x）是“和谐函数”，p、q满足
|
（II）∵y=
| x2-1 |
点评：本题考查新定义题，关键是理解透题中的新定义，此题型是近几年高考常考题型．求分段函数的函数值关键是判断出自变量所属的范围．
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