题目内容
已知函数f(x)=|1-|(x>0),(1)当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求证:ab>1;
(2)是否存在实数a、b(a<b),使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a,b]?若存在,则求出a、b的值;若不存在,请说明理由.
(3)若存在实数a、b(a<b),使得函数y=f(x)的定义域为[a,b]时,值域为[Ma,Mb](M≠0),求M的取值范围.
(1)证明:∵x>0,∴f(x)=
∴f(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上是增函数.??
由0<a<b,且f(a)=f(b),可得0<a<1<b和-1=1-,即+=2.?
∴2AB=a+b>2. ?
故>1,即AB>1. ?
(2)解:不存在满足条件的实数a、b.?
若存在满足条件的实数a、b,使得函数y=f(x)=|1-|的定义域、值域都是[a,b],则a>0,f(x)=
①当a、b∈(0,1)时,f(x)= -1在(0,1)上为减函数,故即?
解得a=b.故此时不存在适合条件的实数a,b. ?
②当a、b∈[1,+∞)时,f(x)=1-在(1,+∞)上是增函数,故即?
此时a、b是方程x2-x+1=0的根,此方程无实根.??
故此时不存在适合条件的实数a、b.
当a∈(0,1),b∈[1,+∞)时,由于1∈[a,b],而f(1)=0[a,b],故此时不存在适合条件的实数a、b.?
综上,可知不存在适合条件的实数a、b.
(3)解:若存在实数a、b(a<b),使得函数y=f(x)的定义域为[a,b]时值域为[ma,mb],则a>0,m>0.??
①当a、b∈(0,1)时,由于f(x)在(0,1)上是减函数,值域为[ma,mb],即
此时a,b异号,不合题意,所以a,b不存在.?
②当a∈(0,1)或b∈(1,+∞)时,由(2)知0在值域内,值域不可能是[ma,mb],所以a、b不存在.故只有a、b∈[1,+∞).?
∵f(x)=|1-|在(1,+∞)上是增函数,∴即?
a、b是方程mx2-x+1=0的两个根,?
即关于x的方程mx2-x+1=0有两个大于1的实根. ?
设这两个根为x1、x2,则x1+x2=,x1·x2=.??
∴即?
解之,得0<m<.?
故m的取值范围是0<m<.
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A、(
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B、(
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C、(
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D、[
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