题目内容

已知函数f(x)=|1-|(x>0),

(1)当0<ab,且f(a)=f(b)时,求证:ab>1;

(2)是否存在实数ab(ab),使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a,b]?若存在,则求出ab的值;若不存在,请说明理由.

(3)若存在实数ab(ab),使得函数y=f(x)的定义域为[a,b]时,值域为[Ma,Mb](M≠0),求M的取值范围.

(1)证明:∵x>0,∴f(x)=                                                                    

f(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上是增函数.??

由0<ab,且f(a)=f(b),可得0<a<1<b-1=1-,即+=2.?

∴2AB=a+b>2.                                                                                ?

>1,即AB>1.                                                                               ?

(2)解:不存在满足条件的实数ab.?

若存在满足条件的实数ab,使得函数y=f(x)=|1-|的定义域、值域都是[a,b],则a>0,f(x)=

①当ab∈(0,1)时,f(x)= -1在(0,1)上为减函数,故?

解得a=b.故此时不存在适合条件的实数a,b.                                              ?

②当ab∈[1,+∞)时,f(x)=1-在(1,+∞)上是增函数,故?

此时ab是方程x2-x+1=0的根,此方程无实根.??

故此时不存在适合条件的实数ab.                                                         

a∈(0,1),b∈[1,+∞)时,由于1∈[a,b],而f(1)=0[a,b],故此时不存在适合条件的实数ab.?

综上,可知不存在适合条件的实数ab.                                                  

(3)解:若存在实数ab(ab),使得函数y=f(x)的定义域为[a,b]时值域为[ma,mb],则a>0,m>0.??

①当ab∈(0,1)时,由于f(x)在(0,1)上是减函数,值域为[ma,mb],即

此时a,b异号,不合题意,所以a,b不存在.?

②当a∈(0,1)或b∈(1,+∞)时,由(2)知0在值域内,值域不可能是[ma,mb],所以ab不存在.故只有ab∈[1,+∞).?

f(x)=|1-|在(1,+∞)上是增函数,∴?

ab是方程mx2-x+1=0的两个根,?

即关于x的方程mx2-x+1=0有两个大于1的实根.                                              ?

设这两个根为x1x2,则x1+x2=,xx2=.??

?

解之,得0<m.?

m的取值范围是0<m.

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