Question

11、判断下列各命题正确与否：
（1）若a≠0，a•b=a•c，则b=c；
（2）若a•b=a•c，则b≠c当且仅当a=0时成立；
（3）（a•b）c=a（b•c）对任意向量a、b、c都成立；
（4）对任一向量a，有a²=|a|²．

Answer 1

分析：（1）（2）可由数量积的定义判断．
（3）通过计算判断．
（4）把a²转化成a•a=|a|²可判断．

解答：解：（1）a•b=a•c，∴|a||b|cosα=|a||c|cosβ（其中α、β分别为a与b，a与c的夹角）．∵|a|≠0，∴|b|cosα=|c|cosβ．
∵cosα与cosβ不一定相等，∴|b|与|c|不一定相等．∴b与c也不一定相等．∴（1）不正确．
（2）若a•b=a•c，则|a||b|cosα=|a||c|cosβ（α、β为a与b，a与c的夹角）．
∴|a|（|b|cosα-|c|cosβ）=0．
∴|a|=0或|b|cosα=|c|cosβ．
当b≠c时，|b|cosα与|c|cosβ可能相等．
∴（2）不正确．
（3）（a•b）c=（|a||b|cosα）c，
a（b•c）=a|b||c|cosθ（其中α、θ分别为a与b，b与c的夹角）．
（a•b）c是与c共线的向量，
a（b•c）是与a共线的向量．
∴（3）不正确．（4）正确．

点评：判断上述问题的关键是要掌握向量的数量积的含义，向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律．