Question

（理）设f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及x₁、x₂∈D恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）成立，则称f（x）为定义在D上的下凸函数．
（1）试判断函数g（x）=2x（x∈R），k(x)=

1

x

 (x＜0)是否为各自定义域上的下凸函数，并说明理由；
（2）若h（x）=px²（x∈R）是下凸函数，求实数p的取值范围；
（3）已知f（x）是R上的下凸函数，m是给定的正整数，设f（0）=0，f（m）=2m，记S_f=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（m），对于满足条件的任意函数f（x），试求S_f的最大值．

Answer 1

（1）g（x）=2x是下凸函数，证明如下：
对任意实数x₁，x₂及α∈（0，1），
有g（αx₁+（1-α）x₂）-αg（x₁）-（1-α）g（x₂）=2（αx₁+（1-α）x₂）-2αx₁-2（1-α）x₂=0．
即g（αx₁+（1-α）x₂）≤αg（x₁）+（1-α）g（x₂）．
∴g（x）=2x是C函数．
k(x)=

1

x

(x＜0)不是下凸函数，证明如下：
取x₁=-3，x₂=-1，α=

1

2

，
则k（αx₁+（1-α）x₂）-αk（x₁）-（1-α）k（x₂）=k(-2)-

1

2

k(-3)-

1

2

k(-1)=-

1

2

+

1

6

+

1

2

＞0．
即k（αx₁+（1-α）x₂）＞αk（x₁）+（1-α）k（x₂）．
∴k(x)=

1

x

(x＜0)不是下凸函数．
（2）h（x）=px²是下凸函数，则对任意实数x₁，x₂及α∈（0，1），
有h（αx₁+（1-α）x₂）-αh（x₁）-（1-α）h（x₂）=p（αx₁+（1-α）x₂）²-pαx₁²-p（1-α）x₂²=p[-α（1-α）x₁²-α（1-α）x₂²+2α（1-α）x₁x₂]=-pα（1-α）（x₁-x₂）²≤0．
即当p≥0时，h（αx₁+（1-α）x₂）≤αh（x₁）+（1-α）h（x₂）．
∴当p≥0时，h（x）=px²是下凸函数．
（3）对任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α=

n

m

∈[0，1]．
∵f（x）是R上的下凸函数，a_n=f（n），且a₀=0，a_m=2m
∴a_n=f（n）=f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）=

n

m

×2m=2n．
那么S_f=a₁+a₂+…+a_m≤2×（1+2+…+m）=m²+m．
可证f（x）=2x是C函数，且使得a_n=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此时S_f=m²+m．
综上所述，S_f的最大值为m²+m．