题目内容

(2012•海口模拟)选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a-1
(1)当a=1,解不等式f(x)≥g(x);
(2)若存在x∈R,使得f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围.
分析:(1)先写出当a=1时的不等式|2x+1|≥|x|,再利用两边平方整理化成一元二次不等式即可解决问题;
(2)先由f(x)≤g(x)分离出参数a得a-1≥|2x+1|-|x|,令h(x)=|2x+1|-|x|,下面求得h(x)的最小值,从而所求实数a的范围.
解答:解:(1)当a=1时,由f(x)≥g(x)得|2x+1|≥|x|,
两边平方整理得3x2+4x+1≥0,解得x≤-1或x≥-
1
3

∴原不等式的解集为(-∞,-1]∪[-
1
3
,+∞)…(5分)
(Ⅱ)由f(x)≤g(x)得a-1≥|2x+1|-|x|,
令h(x)=|2x+1|-|x|,则 h(x)=
-x-1,x≤-
1
2
3x+1,-
1
2
<x<0
x+1,x≥0
…(7分)
故h(x)min=h(-
1
2
)=-
1
2
,从而所求实数a的范围为a-1≥-
1
2
,即a
1
2
…(10分)
点评:本题主要考查了绝对值不等式的解法、函数存在性问题.对于函数存在性问题,处理的方法是:利用分离参数法转化为求函数的最值问题解决.
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