题目内容
对于数列{un}，若存在常数M＞0，对任意的（n∈N*），恒有|un+1-u|+|un+un-1|+…+|u2-u1|≤M，则称数列{un}为B-数列．（1）首项为1，公比为
的等比数列是否为B-数列？请说明理由；（2）设{sn}是数列{xn}的前n项和．给出下列两组判断：
A组：①数列{xn}是B-数列，②数列{xn}不是B-数列；
B组：③数列{sn}是B-数列，④数列{sn}不是B-数列．
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题．判断所给命题的真假，并证明你的结论．
【答案】分析：（1）设满足题设的等比数列为an，则
．于是
n≥2，由此可知首项为1，公比为-
的等比数列是B-数列．
（2）命题1：若数列xn是B-数列，则数列Sn是B-数列．此命题为假命题．根据B-数列的性质可以进行证明．
命题2：若数列Sn是B-数列，则数列xn不是B-数列．此命题为真命题．根据B-数列的性质可以进行证明．
解答：解：（1）设满足题设的等比数列为an，
则
．
于是
n≥2
|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|
=
=
，所以首项为1，公比为-
的等比数列是B-数列．
（2）命题1：若数列xn是B-数列，
则数列Sn是B-数列．此命题为假命题．
事实上设xn=1（n∈N*），易知数列xn是B-数列，但Sn=n，
|Sn+1-Sn|+|Sn-Sn-1|+…+|S2-S1|=n．
由n的任意性知，数列Sn不是B-数列．
命题2：若数列Sn是B-数列，
则数列xn不是B-数列．此命题为真命题．
事实上，因为数列Sn是B-数列，
所以存在正数M，对任意的n∈N*，
有|Sn+1-Sn|+|Sn-Sn-1|+…+|S2-S1|≤M，
即|xn+1|+|xn|+…+|x2|≤M．
于是|xn+1-xn|+|xn-xn-1|+…+|x2-x1|≤|xn+1|+2|xn|+2|xn-1|+…+2|x2|+|x1|≤2M+|x1|，
所以数列xn是B-数列．
点评：本题考查数列知识的综合运用，解题时要认真审题，仔细计算．
．于是n≥2，由此可知首项为1，公比为-的等比数列是B-数列．（2）命题1：若数列xn是B-数列，则数列Sn是B-数列．此命题为假命题．根据B-数列的性质可以进行证明．
命题2：若数列Sn是B-数列，则数列xn不是B-数列．此命题为真命题．根据B-数列的性质可以进行证明．
解答：解：（1）设满足题设的等比数列为an，
则
．于是
n≥2|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|
=
=
，所以首项为1，公比为-的等比数列是B-数列．（2）命题1：若数列xn是B-数列，
则数列Sn是B-数列．此命题为假命题．
事实上设xn=1（n∈N*），易知数列xn是B-数列，但Sn=n，
|Sn+1-Sn|+|Sn-Sn-1|+…+|S2-S1|=n．
由n的任意性知，数列Sn不是B-数列．
命题2：若数列Sn是B-数列，
则数列xn不是B-数列．此命题为真命题．
事实上，因为数列Sn是B-数列，
所以存在正数M，对任意的n∈N*，
有|Sn+1-Sn|+|Sn-Sn-1|+…+|S2-S1|≤M，
即|xn+1|+|xn|+…+|x2|≤M．
于是|xn+1-xn|+|xn-xn-1|+…+|x2-x1|≤|xn+1|+2|xn|+2|xn-1|+…+2|x2|+|x1|≤2M+|x1|，
所以数列xn是B-数列．
点评：本题考查数列知识的综合运用，解题时要认真审题，仔细计算．
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