Question

平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且无任何三个圆相交于一点，求证：这n个圆将平面分成f（n）=n²-n+2个部分.

Answer 1

分析：问题的难点是在假设n=k时，k个圆把平面分成f（k）=k²-k+2个部分，那么当n=k+1时，平面增加几部分.此时第k+1个圆与前面k个圆有2k个交点，这2k个交点将第k+1个圆分成2k段，每段将各自所在的区域一分为二，因此增加了2k个部分.

证明：（1）当n=1时，一个圆将平面分成二部分，且f（1）=1²-1+2=2，因此，n=1时命题成立.

    （2）假设n=k时，命题成立，即k个圆把平面分成f（k）=k²-k+2部分,如果增加一个满足条件的任一个圆，则这个圆必与前k个圆交于2k个点,这2k个点把这个圆分成2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成为两部分，因此,这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k个部分，即

f（k+1）=f（k）+2k=k²-k+2+2k

=（k+1）²-（k+1）+2，

即当n=k+1时，命题亦成立.

根据（1）（2）可知，n个圆将平面分成了f（n）=n²-n+2部分.