Question

31、平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成n²+n+2个部分．

Answer 1

分析：用数学归纳法证明几何问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，1个圆将平面分成几部分，第二步，先假设当k个圆将平面分成k²-k+2个部分，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可．

解答：证明：（1）n=1时，1个圆将平面分成2部分，显然命题成立．
（2）假设n=k（k∈N^*）时，k个圆将平面分成k²-k+2个部分．
当n=k+1时，第k+1个圆C_k+1交前面2k个点，这2k个点将圆C_k+1分成2k段，
每段各自所在区域一分为二，于是增加了2k个区域，
所以这k+1个圆将平面分成k²-k+2+2k个部分，即（k+1）²-（k+1）+2个部分．
故n=k+1时，命题成立．由（1）、（2）可知，对任意n∈N^*命题成立．

点评：本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式
设P（n）是关于自然数n的命题，若
1°P（n₀）成立（奠基）
2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立