Question

已知及是实数集，e是自然对数的底数，函数f（x）=

1+In(x+1)

x

的定义域为{x|x＞0，x∈R}
（I）解关于x的不等式f（x²+1）＞

2

e-1

：
（II）若常数k是正整数，当x＞0时，f（x）＞

k

x+1

恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析：（I）看出要解的不等式右边可以写成f（e-1），问题转化为抽象函数的不等式的问题，对函数求导判断函数的单调性，根据函数的单调性写出解题的不等式，得到解集．
（II）利用特值看出要求的最大值是3，后面要证明当取3时，式子恒成立，利用导数求出函数的单调区间，看出函数在当x=e-1时，g（x）取得最小值g（e-1）=3-e，得到结论．

解答：解：（I）∵f（e-1）=

2

e-1

∴不等式f（x²+1）＞

2

e-1

可以化为f（x²+1）＞f（e-1）
∴f′(x)=

1

x2

[

x

x+1

-1-ln(x+1)]=-

1

x2

[

1

x+1

+ln(x+1)]
∴当x＞0时，f^′（x）＜0，
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数，
∵f（x²+1）＞f（e-1），
∴x²+1＜e-1，
∴-

e-2

＜x＜

e-2

，
∴不等式的解集是{x|-

e-2

＜x＜

e-2

}
（II）∵当x＞0时，f（x）＞

k

x+1

恒成立，
令x=1，得k＜2（1+ln2）
∵k是整数，
∴k=3．
下面证明当k=3，x＞0时，f（x）＞

k

x+1

恒成立，
即当x＞0时，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立，
令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x
则g^′（x）=ln（x+1）-1
当x＞e-1时，g^′（x）＞0，
当0＜x＜e-1时，g^′（x）＜0
∴当x=e-1时，g（x）取得最小值g（e-1）=3-e＞0
∴当x＞0时，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立，
∴正整数k的最大值是3．

点评：本题考查函数的综合问题，涉及到的知识点比较全面，是可以作为压轴题目的一个解答题，特别的题目应用到函数的恒成立问题，这是每一年必考的知识点．