题目内容
已知集合A={a1，a2，…，ak（k≥2）}，其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}，其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n，若对于任意的a∈A，总有-a
A，则称集合A具有性质P。
（1）检验集合{0，1，2，3}与{-1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；
（2）对任何具有性质P的集合A，证明： n≤
；
（3）判断m和n的大小关系，并证明你的结论。
A，则称集合A具有性质P。（1）检验集合{0，1，2，3}与{-1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；
（2）对任何具有性质P的集合A，证明： n≤
；（3）判断m和n的大小关系，并证明你的结论。
解：（1）解：集合{0，1，2，3}不具有性质P
集合{-1，2，3}具有性质P，
其相应的集合S和T是
S={（-1，3），（3，-1）}，
T={（2，-1），（2，3）}。
（2）首先，由A中元素构成的有序数对
共有
个
因为
，
所以
；又
因为当
时，
，
所以当
时，
从而，集合T中元素的个数最多为
，
即
。
（3）
，证明如下：
（i）对于
，根据定义
，
，且
，
从而
如果
与
是S的不同元素，那么
与
中至少有一个不成立，
从而
与
中也至少有一个不成立
故
与
也是T的不同元素
可见，S中元素的个数不多于中元素的个数，即
，
（ii）对于
，根据定义，
，
，且
，
从而
如果
与
是T的不同元素，那么
与
中至少有一个不成立，
从而
与
中也不至少有一个不成立，
故
与
也是S的不同元素
可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即
，
由（i）（ii）可知，
。
集合{-1，2，3}具有性质P，
其相应的集合S和T是
S={（-1，3），（3，-1）}，
T={（2，-1），（2，3）}。
（2）首先，由A中元素构成的有序数对
共有个因为
，所以
；又因为当
时，，所以当
时，从而，集合T中元素的个数最多为
，即
。（3）
，证明如下：（i）对于
，根据定义，，且，从而
如果
与是S的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而
与中也至少有一个不成立故
与也是T的不同元素可见，S中元素的个数不多于中元素的个数，即
，（ii）对于
，根据定义，，，且，从而
如果
与是T的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而
与中也不至少有一个不成立，故
与也是S的不同元素可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即
，由（i）（ii）可知，
。
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