Question

（2009•成都二模）已知函数f（x）=-

1

3

x³+x²+b，g（x）=

x+a

x2+1

，其中x∈R
（I）当b=

2

3

时，若函数F(x)=

f(x)(x≤2) g(x)(x＞2)

为R上的连续函数，求F（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=-1时，若对任意x₁，x₂∈[1，2]，不等式g（x₁）＜f（x₂）恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由连续的定义可知，函数F（x）在x=2处的极限存在且极限与F（2）的值相等，可求a，利用导数判断函数的单调性即可
（II）对任意x₁，x₂∈[-1，2]，g（x₁）＜f（x₂）恒成立?g（x）_max＜f（x）_min，x∈[-1，2]，利用导数分别求解函数g（x）的最大值与f（x）的最小值，从而可求b的范围

解答：解：（I）当b=

2

3

时，函数F（x）为R上的连续函数，
∴

lim

x→2+

g(x)=

2+a

5

=f(2)=2
∴a=8
∵f′（x）=-x²+2x=-x（x-2）令f′（x）＞0，0＜x＜2
∴当x≤2时，函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，2）上单调递增．
又g(x)=

x+8

x2+1

，g′(x)=

-x2-16x+1

(x2+1)2

当x∈（2，+∞时，g′（x）＜0恒成立，
∴当x＞2时，函数g（x）在（2，+∞）上单调递减．
综上可知，函数F（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（-∞，0），（2，+∞）
（Ⅱ）对任意x₁，x₂∈[-1，2]，f（x₁）＜f（x₂）恒成立
g（x）_max＜f（x）_min，x∈[-1，2]
∵a=-1
∴g(x)=

x-1

x2+1

此时g′（x）＞0即-x²+2x+1＞0
∴1-

2

＜x＜1+

2

当x∈[-1，2]时，函数g（x）在[-1，1-

2

]上单调递减，在[1-

2

，2]上单调递增．
而g(-1)=-1，g(2)=

1

5

∴当x∈[-1，2]时，函数g（x）的最大值为g(2)=

1

5

．
结合（I）中函数f（x）的单调性可知：当x∈[-1，2]时，f（x）_min=f（0）=b
∴g（x）_max＜f（x）_min
∴b＞

1

5

即实数b的取值范围为b∈(

1

5

，+∞)

点评：本题主要考查了函数连续条件的应用，解题的关键是熟练应用基本定义，及利用导数求解函数的单调区间及最值，函数的恒成立与函数的最值的相互转化