Question

已知数列{a_n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=

n+1

2

an+1(n≥1，n∈Z)．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求数列{n²a_n}的前n项和T_n；
（3）若存在n∈N^*，使关于n的不等式a_n≤（n+1）λ成立，求常数λ的最小值．

Answer 1

分析：（1）再写一式，两式相减，可得数列{na_n}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）利用错位相减法，可求数列{n²a_n}的前n项和T_n；
（3）分离参数，求出相应的最值，即可求常数λ的最小值．

解答：解：（1）因为a1+2a2+3a3+…+nan=

n+1

2

an+1(n∈N*)
所以a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=

n

2

an(n≥2)-------（1分）
两式相减得nan=

n+1

2

an+1-

n

2

an
所以

(n+1)an+1

nan

=3(n≥2)------------（2分）
因此数列{na_n}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列
所以nan=2•3n-2(n≥2)----（3分）
故an=

1，n=1 2 n •3n-2，n≥2

------------（4分）
（2）由（1）可知当n≥2n2an=2n•3n-2
当n≥2时，Tn=1+4•30+6•31+…+2n•3n-2，------------（5分）
∴3Tn=3+4•31+…+2(n-1)•3n-2+2n•3n-1，------------（6分）
两式相减得Tn=

1

2

+(n-

1

2

)••3n-1(n≥2)------------（7分）
又∵T₁=a₁=1也满足上式，------------（8分）
所以Tn=

1

2

+(n-

1

2

)••3n-1(n∈N*)------------（9分）
（3）a_n≤（n+1）λ等价于λ≥

an

n+1

，------------（10分）
由（1）可知当n≥2时，

an

n+1

=

2•3n-2

n(n+1)

设f(n)=

n(n+1)

2•3n-2

(n≥2，n∈N*)，则f(n+1)-f(n)=

n(n+1)(1-n)

2•3n-1

＜0，------------（12分）
∴

1

f(n+1)

≥

1

f(n)

，
又

1

f(2)

=

1

3

及

a1

2

=

1

2

，∴所求实数λ的取值范围为λ≥

1

3

，
∴λmin=

1

3

-----（14分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，正确求数列的通项是关键．