题目内容

设函数 $数学公式$ ，x∈R，
其中|t|≤1，将f（x）的最小值记为g（t）．
（1）求g（t）的表达式；
（2）对于区间[-1，1]中的某个t，是否存在实数a，使得不等式g（t）≤ $数学公式$ 成立？如果存在，求出这样的a及其对应的t；如果不存在，请说明理由．

解：（1） $\text{[math]}$ =sin²x-1-2tsinx+4t³+t²-3t+4=sin²x-2tsinx+t²+4t³-3t+3=（sinx-t）²+4t³-3t+3．
由（sinx-t）2≥0，|t|≤1，故当sinx=t时，f（x）有最小值g（t），即
g（t）=4t3-3t+3．
（2）我们有g'（t）=12t²-3=3（2t+1）（2t-1），-1＜t＜1．
列表如下：

t	（-1，- $\text{[math]}$ ）	- $\text{[math]}$	（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）	$\text{[math]}$	（ $\text{[math]}$ ，1）
g'（t）	+	0	-	0	+
G（t）	↗	极大值g（- $\text{[math]}$ ）	↘	极小值g（ $\text{[math]}$ ）	↗

由此可见，g（t）在区间（-1，- $\text{[math]}$ ）和（ $\text{[math]}$ ，1）单调增加，在区间（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）单调减小，极小值为g（ $\text{[math]}$ ）=2，
又g（-1）=-4-（-3）+3=2
故g（t）在[-1，1]上的最小值为2
注意到：对任意的实数a， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ∈[-2，2]
当且仅当a=1时， $\text{[math]}$ =2，对应的t=-1或 $\text{[math]}$ ，
故当t=-1或 $\text{[math]}$ 时，这样的a存在，且a=1，使得g（t）≥ $\text{[math]}$ 成立．
而当t∈（-1，1]且t≠ $\text{[math]}$ 时，这样的a不存在．

分析：（1）利用三角函数转换公式化简f（x），在用配方法得出函数的最简式，即可得出函数g（x）的表达式
（2）求出g（x）的导数，画出表格判断函数的单调性即可求出函数的最值，g（t）≤ $\text{[math]}$ 成立，即 $\text{[math]}$ ≥g（t）的最大值，求出a的范围．
点评：该题考查函数的求导，以及利用函数的导数判断函数的单调性进而求出函数的最值，还考查了三角函数的公式的利用，以及恒成立问题．