Question

如图，一简单几何体的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC，
（1）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（2）若AB=2，BC=1，tan∠EAB=

3

2

，试求该几何体的体积V．

Answer 1

分析：（1）欲证平面ACD⊥平面ADE，根据面面垂直的判定定理可知在平面ADE内一直线与平面ACD垂直，而根据BC⊥平面ADC，DE∥BC，可得DE⊥平面ADC；
（2）所求简单组合体的体积进行分解：V=V_E-ABC+V_E-ADC，然后利用体积公式进行求解，关键是几何体的高的求解．

解答：解：（1）证明：∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴DC⊥BC，
∵AB是圆O的直径，
∴BC⊥AC且DC∩AC=C，
∴BC⊥平面ADC，
∵四边形DCBE为平行四边形，
∴DE∥BC，
∴DE⊥平面ADC，
又∵DE?平面ADE，
∴平面ACD⊥平面ADE；
（2）所求简单组合体的体积：V=V_E-ABC+V_E-ADC
∵AB=2，BC=1，tan∠EAB=

EB

AB

=

3

2

，
∴BE=

3

，AC=

AB2-BC2

=

3

，
∴VE-ADC=

1

3

S△ADC•DE=

1

6

AC•DC•DE=

1

2

VE-ABC=

1

3

S△ABC•EB=

1

6

AC•BC•EB=

1

2

∴该简单几何体的体积V=1；

点评：本小题主要考查空间中的线面关系，考查面面垂直的判定及简单组合体体积的计算，考查识图能力和逻辑思维能力，考查转化思想，属于基础题．