Question

若A、B是抛物线y²=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”．已知当x＞2时，点P（x，0）存在无穷多条“相关弦”．给定x₀＞2．
（I）证明：点P（x₀，0）的所有“相关弦”中的中点的横坐标相同；
（II）试问：点P（x₀，0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x₀表示）：若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）设AB为点P（x₀，0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是
（x₁，y₁）、（x₂，y₂）（x₁≠x₂），则y²₁=4x₁，y²₂=4x₂，
两式相减得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）．因为x₁≠x₂，所以y₁+y₂≠0、
设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（x_m，y_m），则
k=

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

=

2

ym

．从而AB的垂直平分线l的方程为y-ym=-

ym

2

(x-xm).
又点P（x₀，0）在直线l上，所以-ym=-

ym

2

(x0-xm).
而y_m≠0，于是x_m=x₀-2．故点P（x₀，0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x₀-2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，弦AB所在直线的方程是y-y_m=k（x-x_m），代入y²=4x中，
整理得k²x²+2[k（y_m-kx_m）-2]x+（y_m-kx_m）²=0．（•）
则x₁、x₂是方程的两个实根，且x1•x2=

(ym-kxm)2

k2

.
设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则l²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（1+k²）（x₁-x₂）²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=4（1+k²）（x_m²-x₁x₂）
=4(1+

4

y 2m

)[

x

2m

-

(ym- 2 ym xm)2

4 y 2m

]
=（4+y_m²）（4x_m-y_m²）=-y_m⁴+4y_m²（x_m-1）+16x_m
=4（x_m+1）²-[y_m²-2（x_m-1）]²=4（x₀-1）²-[y_m²-2（x₀-3）]²．
因为0＜y_m²＜4x_m=4（x_m-2）=4x₀-8，于是设t=y_m²，则t∈（0，4x₀-8）．
记l²=g（t）=-[t-2（x₀-3）]²+4（x₀-1）²．
若x₀＞3，则2（x₀-3）∈（0，4x₀-8），所以当t=2（x₀-3），即y_m²=2（x₀-3）时，
l有最大值2（x₀-1）．
若2＜x₀＜3，则2（x₀-3）≤0，g（t）在区间（0，4x₀-8）上是减函数，
所以0＜l²＜16（x₀-2），l不存在最大值．
综上所述，当x₀＞3时，点P（x₀，0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值
为2（x₀-1）；当2＜x₀≤3时，点P（x₀，0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值．