题目内容

如图,三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC,∠ACB = 90°,E是棱CC1上动点,F是AB中点,AC = 1,BC = 2,AA1 = 4.

(Ⅰ)当E是棱CC1中点时,求证:CF∥平面AEB1
(Ⅱ)在棱CC1上是否存在点E,使得二面角A—EB1—B的余弦值是,若存在,求CE的长,若不存在,请说明理由.

(Ⅰ)详见试题解析;(Ⅱ)在棱上存在点使得二面角A—EB1—B的余弦值是,且

解析试题分析:(Ⅰ)根据直线平行平面的判定定理,需要在平面AEB1内找一条与CF平行的直线.根据题设,可取的中点,通过证明四边形是平行四边形来证明,从而使问题得证;(Ⅱ)由于两两垂直,故可以为坐标原点,射线轴的正半轴建立空间坐标系,利用空间向量求解.
试题解析:(Ⅰ)证明:取的中点,联结
分别是棱的中点,

又∵
∴四边形是平行四边形,

平面平面
平面
(Ⅱ)解:由于两两垂直,故可以为坐标原点,射线轴的正半轴建立空间坐标系如图所示

,平面的法向量


,取得:
平面
是平面的法向量,则平面的法向量
∵二面角的平面角的余弦值为

解之得
∴在棱上存在点使得二面角A—EB1—B的余弦值是,且.
考点:1、直线与平面平等的判定;2、二面角;3、空间向量的应用.

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