题目内容
如图,三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC,∠ACB = 90°,E是棱CC1上动点,F是AB中点,AC = 1,BC = 2,AA1 = 4.
(Ⅰ)当E是棱CC1中点时,求证:CF∥平面AEB1;
(Ⅱ)在棱CC1上是否存在点E,使得二面角A—EB1—B的余弦值是,若存在,求CE的长,若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)详见试题解析;(Ⅱ)在棱上存在点使得二面角A—EB1—B的余弦值是,且
解析试题分析:(Ⅰ)根据直线平行平面的判定定理,需要在平面AEB1内找一条与CF平行的直线.根据题设,可取的中点,通过证明四边形是平行四边形来证明,从而使问题得证;(Ⅱ)由于两两垂直,故可以为坐标原点,射线为轴的正半轴建立空间坐标系,利用空间向量求解.
试题解析:(Ⅰ)证明:取的中点,联结
∵分别是棱、的中点,
∴
又∵
∴四边形是平行四边形,
∴
∵平面,平面
∴平面
(Ⅱ)解:由于两两垂直,故可以为坐标原点,射线为轴的正半轴建立空间坐标系如图所示
则
设 ,平面的法向量,
则
由
得,取得:
∵平面
∴是平面的法向量,则平面的法向量
∵二面角的平面角的余弦值为
∴
解之得
∴在棱上存在点使得二面角A—EB1—B的余弦值是,且.
考点:1、直线与平面平等的判定;2、二面角;3、空间向量的应用.
正方体的棱长为,线段上有两个动点,且,则下列结论中错误的是( )
A. |
B.三棱锥的体积为定值 |
C.二面角的大小为定值 |
D.异面直线所成角为定值 |