题目内容

已知
(1)若对内的一切实数,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(2)当时,求最大的正整数,使得对是自然对数的底数)内的任意个实数都有成立;
(3)求证:
(1). (2)的最大值为
(3)证明(法一):先得到时,,即
,得,   
化简得

(法二)数学归纳法:

试题分析:(1)由
要使不等式恒成立,必须恒成立.   

时,,则是增函数,
是增函数,
因此,实数的取值范围是.                     5分
(2)当时,
上是增函数,上的最大值为
要对内的任意个实数都有
成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值,
时不等式左边取得最大值,时不等式右边取得最小值.
,解得
因此,的最大值为.                              9分
(3)证明(法一):当时,根据(1)的推导有,时,
.                            10分
,得,   
化简得,                  13分
.          14分
(法二)数学归纳法:当时,左边=,右边=
根据(1)的推导有,时,,即
,得,即. 因此,时不等式成立.        10分
(另解:,即.)
假设当时不等式成立,即
则当时,

要证时命题成立,即证
即证. 在不等式中,令,得           
.  时命题也成立.     13分
根据数学归纳法,可得不等式对一切成立.   14分
点评:难题,本题属于导数应用中的基本问题,像涉及恒成立问题,往往通过研究函数的最值达到解题目的。证明不等式问题,往往通过构造新函数,研究其单调性及最值,而达到目的。本题(II)解法较多,涉及复杂式子变形,学生往往失去耐心而失分。
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