题目内容

过点P（1，0）作曲线C：y=xk（x∈（0，+∞），k∈N*，k＞1）的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1；又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M2在x轴上的投影是点P2；…；依此下去，得到一系列点M1，M2，…Mn，…；设它们的横坐标a1，a2，…，
an…构成数列为{an}．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证：an≥1+
n
k-1
；
（Ⅲ）当k=2时，令bn=
n
an
，求数列{bn}的前n项和Sn．
（Ⅰ）对y=xk求导数，
得y′=kxk-1，
点是Mn（an，ank）的切线方程是y-ank=kank-1（x-an）．…（2分）
当n=1时，切线过点P（1，0），
即0-a1k=ka1k-1（1-a1），
得a1=
k
k-1
；
当n＞1时，切线过点Pn-1（an-1，0），
即0-ank=kank-1（an-1-an），
得
an
an-1
=
k
k-1
．
所以数列{an}是首项a1=
k
k-1
，公比为
k
k-1
的等比数列，
所以数列{an}的通项公式为an=(
k
k-1
)n，n∈N*．…（4分）
（ II）应用二项式定理，得an=(
k
k-1
)n=(1+
1
k-1
)n=
C0n
+
C1n
1
k-1
+
C2n
(
1
k-1
)2+…+
Cnn
(
1
k-1
)n≥1+
n
k-1
．…（8分）
（ III）当k=2时，an=2n，
数列{bn}的前n项和Sn=
1
2
+
2
22
+
3
23
+…+
n
2n
，
同乘以
1
2
，得
1
2
Sn=
1
22
+
2
23
+
3
24
+…+
n
2n+1
，
两式相减，…（10分）
得
1
2
Sn=
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
-
n
2n+1
=
1
2
(1-
1
2n
)
1-
1
2
-
n
2n+1
=1-
1
2n
-
n
2n+1
，
所以Sn=2-
n+2
2n
．…（12分）
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过点P（1，0）作曲线C：y=xk（x∈（0，+∞），k∈N*，k＞1）的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1．又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M2在x轴上的投影是点P2…．依此下去，得到一系列点M1，M2，…，Mn，…，设它们的横坐标a1，a2，…，an，…，构成数列{an}．（a1≠0）．
（1）求证数列{an}是等比数列，并求其通项公式；
（2）求证：an≥1+
n
k+1
；
（3）若k=2，记bn=
n
i=0
(-1)i
a
2
n-i
C
i
2n-i+1
，求b2010．
（2009•锦州一模）过点P（1，0）作曲线C：y=x2（x＞0）的切线，切点为Q1，没Q1在x轴上的投影是P1，又过P1，作曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影是P2…，依次下去，得到一系列点Q1Q2，…Qn，设Qn的横坐标为an．
（I）求a1的值及{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=
an(an-1)(an+1-1)
，设数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．
（2013•南通三模）过点P（-1，0）作曲线C：y=ex的切线，切点为T1，设T1在x轴上的投影是点H1，过点H1再作曲线C的切线，切点为T2，设T2在x轴上的投影是点H2，…，依次下去，得到第n+1（n∈N）个切点Tn+1．则点Tn+1的坐标为
（n，en）
（n，en）
．
过点P（1，0）作曲线C：y=x2（x∈（0，+∞）的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1．又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M2在x轴上的投影是点P2，…．依此下去，得到一系列点M1，M2…，Mn，…，设它们的横坐标a1，a2，…，an，…，构成数列为{an}．
（1）求证数列{an}是等比数列，并求其通项公式；
（2）令bn=
nan
，求数列{bn}的前n项和Sn．
（2013•韶关二模）如图，过点P（1，0）作曲线C：y=x2（x∈（0，+∞））的切线，切点为Q1，设点Q1在x轴上的投影是点P1；又过点P1作曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影是P2；…；依此下去，得到一系列点Q1，Q2，Q3-Qn，设点Qn的横坐标为an．
（1）求直线PQ1的方程；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）记Qn到直线PnQn+1的距离为dn，求证：n≥2时，
1
d1
+
1
d2
+…
1
dn
＞3．

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