Question

如图，已知椭圆（a＞b＞0），M为椭圆上的一个动点，F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，A、B分别为椭圆的一个长轴端点与短轴的端点．当MF₂⊥F₁F₂时，原点O到直线MF₁的距离为|OF₁|．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）当点M在椭圆上变化时，求证：∠F₁MF₂的最大值为；
（3）设圆x²+y²=r²（0＜r＜b），G是圆上任意一点，过G作圆的切线交椭圆于Q₁，Q₂两点，当OQ₁⊥OQ₂时，求r的值．（用b表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）设F₁（-c，0），F₂（c，0），A（a，c），B（0，b），因为MF₂⊥F₁F₂，所以点M坐标为 ，由此能够求出a=．
（2）设MF₁=m，MF₂=n，m+n=2a，由余弦定理得=．因为，所以cos∠F₁MF₂≥0，由此能够证明：∠F₁MF₂的最大值为．
（3）设G（rcosθ，rsinθ）圆上任意一点，过G点的切线交该椭圆于Q₁（x₁，x₂），Q₂（x₂，y₂），则切线l的法向量为（rcosθ，rsinθ），直线l的方程为xcosθ+ysinθ-r=0，联立方程组，能够推导出r=．
解答：解：（1）设F₁（-c，0），F₂（c，0），A（a，c），B（0，b），
因为MF₂⊥F₁F₂，所以点M坐标为 ，
所以MF₁方程b²x-2axy+b²c=0，
O到MF₁距离，整理得2b⁴=a²c²，
所以解得a=．
（2）设MF₁=m，MF₂=n，m+n=2a，
由余弦定理得
=
=．
因为，
所以cos∠F₁MF₂≥0，
当且仅当m=n=a=，cos∠F₁MF₂=0，
由三角形内角及余弦单调性知有最大值．
（3）设G（rcosθ，rsinθ）圆上任意一点，过G点的切线交该椭圆于Q₁（x₁，x₂），Q₂（x₂，y₂），
则切线l的法向量为（rcosθ，rsinθ），直线l的方程为xcosθ+ysinθ-r=0，
联立方程组，
①cosθ=0时，|OG|=|Q₁G|=|Q₂G|，所以r=，即：r=；
②cosθ≠0时，由，
得（1+cos²θ）y²-2rsinθy+r²-2b²cos²θ=0，
所以，
因为x₁x₂cos²θ=r²-（y₁+y₂）rsinθ+sin²θ，
由OQ₁⊥OQ₂得，x₁x₂cos²θ+y₁y₂cos²θ=r²-（y₁+y₂）rsinθ+y₁y₂=0
所以3r²cos²θ=2b²cos²θ，从而r=；
由①、②知，r=．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．