题目内容
【题目】已知椭圆C： 
的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为 
.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设过点B（0，m）（m>0）的直线 
与椭圆C相交于E，F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围.
【答案】解：（I）由题意，得： 
又因为 
解得 
，所以椭圆C的方程为 
.
（II）当直线 
的斜率不存在时，由题意知 的方程为x=0，
此时E，F为椭圆的上下顶点，且 
，
因为点 
总在以线段 
为直径的圆内，且 
，
所以 
，故点B在椭圆内.
当直线 的斜率存在时，设 的方程为 
.
由方程组 
得 
，
因为点B在椭圆内，
所以直线 与椭圆C有两个公共点，即 
.
设 
，则 
.
设EF的中点 
，则 
，
所以 
.所以 
，
，
因为点D总在以线段EF为直径的圆内，所以 
对于 
恒成立.
所以 
.
化简，得 
，整理，得 
，
而 
（当且仅当k=0时等号成立）所以 
，
由m>0，得 
.综上，m的取值范围是 .
【解析】(1)由条件列出关于a,b,c的方程组求a,b,c得到椭圆的方程;
(2)先讨论直线的存在时,由点B关于原点的对称点为D总在以线段EF为直径的圆内,求出m的范围;再讨论当直线斜率存在时,设出直线的方程,代入到椭圆方程中,消去y得到关于x的一元二次方程,由韦达定理求出EF的中点坐标,当点D在以EF为直径的圆内时,由圆的性质得到关于m与k的不等式,求m的范围.
【考点精析】通过灵活运用点与圆的位置关系和椭圆的标准方程，掌握点
与圆
的位置关系有三种：若
，则
点
在圆外;
点在圆上;
点在圆内；椭圆标准方程焦点在x轴：
，焦点在y轴：
即可以解答此题．
练习册系列答案
相关题目
