Question

设复数z₁，z₂在复平面上（O为原点）对应的点分别为Z₁（sinθ，1），Z₂（1，cosθ），其中-＜θ＜，
（1）若⊥，求θ；
（2）若=+，求点Z的轨迹的普通方程；并作出轨迹示意图．
（3）求|OZ₁+OZ₂|的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据两个向量之间的垂直关系，得到对应的向量的数量积等于0，得到关于三角函数的等式，求出正切值，根据角的范围得到角的大小．
（2）根据复数相等的充要条件，写出复数的实部和虚部分别相等，得到关于三角函数的等式，去掉字母参数，得到圆的方程，根据三角函数做出x，y的范围，画出图形．
（3）要求模长的最值．需要根据所给的复数的表示形式，求出复数的模长的表示式，根据三角函数的最值的求法，得到复数的模长的最值．
解答：2解（1）∵由⊥，知•=0
∴sinθ+cosθ=0
∴tanθ=-1      
∵-＜θ＜
∴
（2）设Z（x，y）
则有（x，y）=（sinθ，1）+（1，cosθ）        
=（1+sinθ，1+cosθ）
∴，中-＜θ＜

消去θ得：（x-1）²+（y-1）²=1（1＜y≤2）
（3）|OZ₁+OZ₂|=

∵-＜θ＜
∴       
∴-
可求得|OZ₁+OZ₂|的最大值为
点评：本题考查复数与向量的综合题目，考查复数的几何意义，考查三角函数的最值和恒等变形，本题解题的关键是题目的每一个环节都不是难题，但是容易在这种小的细节处出错，本题是一个易错题．