Question

（2013•汕尾二模）已知F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)为平面内的两个定点，动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4，记点P的轨迹为曲线Γ．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）判断原点O关于直线x+y-1=0的对称点R是否在曲线Γ包围的范围内？说明理由．
（注：点在曲线Γ包围的范围内是指点在曲线Γ上或点在曲线Γ包围的封闭图形的内部）
（Ⅲ）设点O为坐标原点，点A，B，C是曲线Γ上的不同三点，且

OA

+

OB

+

OC

=

0

．试探究：直线AB与OC的斜率之积是否为定值？证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）利用椭圆的定义可知：点P的轨迹是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)为焦点，4为长轴长的椭圆． 据此即可求出．
（II）解法一：设原点O关于直线x+y-1=0的对称点为R（m，n），利用点关于直线的对称点的性质得

n m =1 m 2 + n 2 -1=0

，解出即可得到点R的坐标，判定是否满足在椭圆内部的条件即可；
解法二：设原点O关于直线x+y-1=0的对称点为R（m，n），利用点关于直线的对称点的性质得：

n m =1 m 2 + n 2 -1=0

，解得

m=1 n=1

即R（1，1）．得出直线OR的方程：y=x．与椭圆的方程联立求出其交点G，H，判断点R是否在线段GH上即可；
（Ⅲ）解法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）．利用

OA

+

OB

+

OC

=

0

得x₁+x₂+x₃=0，y₁+y₂+y₃=0．可设直线AB的方程为y=kx+n（k≠0），代入

x2

4

+

y2

2

=1并整理得：（1+2k²）x²+4knx+2n²-4=0，满足△＞0，即可得到根与系数的关系，进而得到点C的坐标，利用斜率计算公式即可判断直线AB与OC的斜率之积是否定值；
解法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）．利用

OA

+

OB

+

OC

=

0

得x₁+x₂+x₃=0，y₁+y₂+y₃=0．因为点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），在椭圆上，所以有：

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1，再利用“点差法”即可判断出结论．

解答：解：（Ⅰ）由条件可知，点P到两定点F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)的距离之和为定值4，
所以点P的轨迹是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)为焦点的椭圆． 
又a=2，c=

2

，所以b=

2

．
故所求方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）解法一：设原点O关于直线x+y-1=0的对称点为R（m，n），由点关于直线的对称点的性质得：

n m =1 m 2 + n 2 -1=0

，解得

m=1 n=1

即R（1，1）．
此时

12

4

+

12

2

=

3

4

＜1，
∴R在曲线Γ包围的范围内．
解法二：设原点O关于直线x+y-1=0的对称点为R（m，n），
由点关于直线的对称点的性质得：

n m =1 m 2 + n 2 -1=0

，解得

m=1 n=1

即R（1，1）．
∴直线OR的方程：y=x．
设直线OR交椭圆

x2

4

+

y2

2

=1于G和H，
由

y=x x2 4 + y2 2 =1

得：

x= 2 3 3 y= 2 3 3

或

x=- 2 3 3 y=- 2 3 3

即G(

2 3

3

，

2 3

3

)，H(-

2 3

3

，-

2 3

3

)．
显然点R在线段GH上．
∴R在曲线Γ包围的范围内．
（Ⅲ）解法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）．
由

OA

+

OB

+

OC

=

0

得x₁+x₂+x₃=0，y₁+y₂+y₃=0．
可设直线AB的方程为y=kx+n（k≠0），代入

x2

4

+

y2

2

=1并整理得：（1+2k²）x²+4knx+2n²-4=0，
依题意，△＞0，则x1+x2=-

4kn

1+2k2

，y₁+y₂=k（y₁+y₂）+2n=

2n

1+2k2

，
从而可得点C的坐标为(

4kn

1+2k2

，-

2n

1+2k2

)，kOC=-

1

2k

．
因为kAB•kOC=-

1

2

．
所以直线AB与OC的斜率之积为定值．
解法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）．
由

OA

+

OB

+

OC

=

0

得x₁+x₂+x₃=0，y₁+y₂+y₃=0．
因为点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），在椭圆上，所以有：

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1
两式相减，整理得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
从而有

y1-y2

x1-x2

•

y1+y2

x1+x2

=-

1

2

．
又x₁+x₂=-x₃，y₁+y₂=-y₃，kOC=

y3

x3

，kAB=

y1-y2

x1-x2

．
因为kAB•kOC=-

1

2

．
所以直线AB与OC的斜率之积为定值．

点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程得根与系数的关系、向量的运算、斜率的计算公式、点差法、轴对称等基础知识与基本方法，考查了多种方法解决同一个问题、推理能力和计算能力．