Question

已知f（x）=alnx-ax-3
（1）若a=2，求函数f（x）的单调区间  
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处切线的倾斜角为45°，若函数在区间（2，3）上不单调，求m的范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调区间；
（2）利用函数图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，求出导函数，利用函数在区间上不单调，建立不等式，即可求得m的范围．
解答：解：（1）a=2，则f（x）=2lnx-2x-3，∴f′（x）=（x＞0）
令f′（x）＞0，∵x＞0，∴0＜x＜1；令f′（x）＜0，
∵x＞0，∴x＞1；
∴f（x）的单调增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；
（2）求导函数，可得f′（x）=
∵函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处切线的倾斜角为45°，
∴f′（2）=-=1，∴a=-2，
∴f（x）=-2lnx+2x-3
∴g（x）=x³+（+2）x²-2x，
∴g'（x）=3x²+（m+4）x-2
∵g（x）在区间（2，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2
∴，∴
∴．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调区间，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．